Квазимногочлен
Квазимногочле́н — функция, представимая в виде суммы конечного числа квазиодночленов вида [math]\displaystyle{ At^ke^{\alpha t}\cos\beta t }[/math] или [math]\displaystyle{ At^ke^{\alpha t}\sin\beta t, }[/math] где [math]\displaystyle{ A, \alpha, \beta, t \in \R, k \in \Z_+. }[/math] Формулы с квазиодночленами приобретают более компактный и симметричный вид, если использовать комплекснозначные квазиодночлены [math]\displaystyle{ (A + iB)t^ke^{(\alpha + i \beta)t}, }[/math] где на основании формулы Эйлера [math]\displaystyle{ e^{(\alpha + i \beta)t} = e^{\alpha t}(\cos \beta t + i \sin \beta t). }[/math]
Свойства
- Линейная комбинация с постоянными коэффициентами — снова квазимногочлен;
- произведение квазимногочленов — снова квазимногочлен;
- первообразная и производная от квазимногочлена — снова квазимногочлен.
Приложения
Квазимногочлены широко применяются в теории линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, что соответствует возможности с их помощью моделировать различные колебательные процессы, в том числе периодические, затухающие и резонансные.
Литература
- Лизоркин П. И. Курс дифференциальных и интегральных уравнений с дополнительными главами анализа. - М., Наука, 1981. - Тираж 30000 экз. - 384 с.